Matematikte, rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının ortak böleninin olmadığı a/b ifadesidir.

Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü $-3=frac{-3}{1}$ veya $0=frac{0}{1}$ veya $43=frac{43}{1}$ şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi $mathbb{Q}$ , tam sayılar kümesi $mathbb{Z}$ 'yi kapsar. Yani $mathbb{Z} subset mathbb{Q}$ .

Konu başlıkları

[gizle]

Tanım [değiştir]

Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya $mathbb{Q}$ ile gösterilir. $mathbb{Q}$ kümesi genelde şöyle tanımlanır:

$mathbb{Q} = left{frac{m}{n} : m in mathbb{Z}, n in mathbb{Z}, n ne 0 right}$

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir oranlı sayı olarak anılır. $mathbb{Z} times mathbb{Z}$ kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı

$(a,b) sim (c,d) Leftrightarrow ad=bc, quad b,d not= 0$

olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları

$overline{(a,b)} = {(a,b) | (a,b) sim (c,d) }$

olurlar. Oranlı sayı ise basitçe

$frac{a}{b} = overline{(a,b)}$

şeklinde tanımlanır.

Tanımda paydanın sıfır olmama şartı $frac{a}{0}$ ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Oranlı sayıların cebirsel özellikleri [değiştir]

$p, q, r in mathbb{Q}$ olmak üzere:

Toplama belitleri [değiştir]

Toplamsal birim öğe: [değiştir]

$q=frac{a}{b}$ bir oranlı sayı ise a=0 olduğunda q toplamanın birim öğesidir ve 0 ile gösterilir.

p + 0 = p

Toplamsal tersinir öğe: [değiştir]

 ve  iki oranlı sayı olsun. Eğer ad=-bc ise bu iki sayı birbirinin toplamsal tersidir.ÜÜÜÜÜ_{_{_Şû}}

p + (-p) = 0

Toplamada değişme özelliği: [değiştir]

p+q = q+p

Toplamada birleşme özelliği: [değiştir]

(p + q) + r = p + (q + r)

Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma): [değiştir]

(p + q)r = pr + qr

Çarpma belitleri [değiştir]

Çarpımsal birim öğe: [değiştir]

$q=frac{a}{b}$ bir oranlı sayı ise a=b olduğunda q çarpmanın birim öğesidir ve 1 ile gösterilir.

p1 = p

Çarpımsal tersinir öğe: [değiştir]

$frac{a}{b}$ ve $frac{c}{d}$ iki oranlı sayı olsun. Eğer ac=bd ise bu iki sayı birbirinin çarpımsal tersidir.

p(p^-1) = 1

Çarpmada değişme özelliği: [değiştir]

pq = qp

Çarpmada birleşme özelliği: [değiştir]

(pq)r = p(qr)

Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma): [değiştir]

r(p + q) = rp + rq

Oranlı sayıların eşitliği [değiştir]

İki oranlı sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının oranlı olmasıyla anlaşılır. $a,b,c,d in mathbb{Z}$ olmak üzere $frac{a}{b}$ ve $frac{c}{d}$ iki oranlı sayı ise bu iki sayı ancak ad=bc olduğunda eşittir.

Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkarsanabilir. İki oranlı sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten ad=bc koşulunu içermekteydi.

Rasyonel Sayilar ve Özellikleri [değiştir]

Rasyonel ve irrasyonel sayılar: [değiştir]

Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir. Rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denir. Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.

NOT: Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir.

ÖR:

Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pasta

Yandaki şekilde,bir bütün yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi

olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3de 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu

ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

NOT: Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir.

Q =  Q- U {0} U  Q+

İrrasyonel sayılar:

Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın,rasyonel olmayan gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.İrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.

Gerçek (reel) sayılar kümesi:

Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.Gerçek sayılar kümesi , gercek sayi ekseninin her noktasını doldurur. Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir. Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir.

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük) [değiştir]

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar: [değiştir]

Paydaları eşit olan rasyonel oranlar icin payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.

Örneğin:

(7/20) > (3/20)

Burada paydalar eşit ve 20dir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sagdaki pay 3 den daha büyük oldugu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür.

Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır: Örneğin:

( -7|20 )  < ( -3/20 )

Payda 20ye eşit olup sağda ki negatif pay değeri -3, sağdaki negatif pay değeri olan -7den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür.

Payları eşit olan rasyonel sayılar: [değiştir]

Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür.

Örneğin:

( 7 / 9 ) < ( 7 / 5 ) < ( 7 / 3 )

( - 7 / 9 ) > (-  7 / 5 ) > ( - 7 / 3 )

Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar: [değiştir]

Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek (gerekirse ondalikli sayilar bulunarak) sıralama yapılır.

Örneğin:

(18/3) , ( 7/4 ) , ( 48/57)  karsilastirmasi icin her joran icin pay payda  ile bolunmesi ile

elde edilen sayilar sunlardir:

( 18/3) = 6       (7/4 ) = 1,75      (48/57) = 0,87

Bunlardan en büyüğü 6 olup (18/3) oranının karşılaştırılan değer arasında en büyük oldugu ortaya çıkartılır.

Arada olma [değiştir]

İki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirme işlemine denir.

ÖR:    2/3    ile     4/5

I.YOL: 2 4 II:YOL:2 4 III.YOL: 1 2 4

3       5                    3       5                          2      3      5
                 2

1 2 4 1 10 12 1 22 22 2 3 5 2 15 15 2 15 30

ÖR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14

4            6         2        4        6        2        12       12
                                                  
                                                  1      29       29
                                                  2      12       24

5 29 7 4 24 6

=Rasyonel Sayilarda Toplama İşlemi

Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi [değiştir]

Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse, paydalar eşitlenir. Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.toplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.

Tam sayılı kesirler toplanırken , bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.

ÖR: +3 +7 +3 +35 +3 +38

5        1        5        35         3         5

Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi [değiştir]

Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.

ÖR: 1 2 1 20 24 15

3     5      4      60      60      60
                               
                             
                                 +20+24+(-15)
                                          60
                                
                                  +44+(-15)
                                        60
                                
                                   29
                                   60

Rasyonel Sayilar Kumesinde Toplama Isleminin Özellikler [değiştir]

Kapalılık özelliği: [değiştir]

İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

ÖR: - 2 + 2 -4 +2 -2

3           6           6           6           6

Değişme özelliği: [değiştir]

Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR: -4 +1 -8 +7 -1

7            2          14           14         14

+1          -4          +7          -8           -1
                2            7           14         14           14

-4            +1               +1              - 4
               7               2                 2                 7

Birleşme özelliği: [değiştir]

Rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

ÖR: 4 3 1 4 4 8

5             5             5            5          5                 5

4             3            1            7           1               8
              5             5            5            5           5               5

4         3        1           4        3        1
                     5         5        5           5        5        5

Etkisiz (birim) eleman özelliği: [değiştir]

”0” tam sayısına, rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.

ÖR: -7 -7 -7 -7

9                9                                 9                 9

buna göre;

-7                               -7
                                  9                                9

Ters eleman özelliği: [değiştir]

Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.

ÖR: +5 -5 20 20

-5             +5
               20            20

Rasyonel Sayilarda Çikarma İslemi [değiştir]

İki rasyonel sayının farkı bulunurken, eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.

ÖR: +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13

5           6            5           6            30         30             30

ÖR: +7 +5 +7 +25

10             2             10             10
                                              
                                              +7           -25            -18
                                               10            10             10

Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdır.Buna göre rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Rasyonel Sayilarda Çarpma İslemi [değiştir]

İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.

NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.
    Yani:       
                      +  x  + = +
                      -  x  - = +
                      -  x  + = -
                      +  x  - = -
 

ÖR:        -4        +3          (-4)x(+3)             -12
                1          4             1 x 4                    4

NOT:Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.

Rasyonel Sayilar Kumesinde Çarpma İsleminin Özellikleri [değiştir]

Kapalılık özelliği: [değiştir]

İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

ÖR: +3 -2 -6

4              3              12

Değişme özelliği: [değiştir]

Rasyonel sayılar kümesinde carpma işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR: -19 -1 +19

20           3              60

-1         -19           -19
                3           20            60

Birleşme özelliği: [değiştir]

Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR: +3 -2 +1 -6 +1 -6

1          3              5           3             5             15
    
     +3         -2            +1         +3            -2            -6
                1          3               5           1             15           15

Yutan eleman: [değiştir]

Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır. ”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.

ÖR: -7 -7 9 9

Etkisiz birim eleman: [değiştir]

+1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.

ÖR: +4 +4 +4 +4

3                          3                                     3             3

Ters eleman: [değiştir]

Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.

ÖR: +2 +3 2 x 3 +1

3                  2               3 x 2              1

Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği: [değiştir]

Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

ÖR: +1 +2 +1 +1 +3 +3

2         4          4              2            4           8

+1            +2         +1        +1        +2         +1        +1
                2               4          4           2          4           2           4

+2                 1                   +3
                                                         8                 8                     8

Çarpma işleminin çıkarma işlem üzerine dağılma özelliği: [değiştir]

Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

ÖR: 1 2 1 1 1 1

2     4      4         2      4       8
              
              1         2         1         1         2         1        1
              2         4         4         2         4         2        4

2 1 8 8

1
                                               8

Rasyonel Sayilarda Bolme İslemi [değiştir]

İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.

NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif; ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.

Yani:           +  x + = + 
                  -  x - = +
                  -  x + = -
                  +  x - = -

ÖR: -3 +2 -3 +4 -3

4              4             4                  2             2

+1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.

ÖR: -2 1 -7 -7

7             1                2               2

(-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.

ÖR:                 12                   +17         17
                         17                     12         12

Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.

Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.

ÖR: -2 -2 1 -2 1 -2

7                 7                1               7            1             7

ÖR: -2 -2 -1 -2 -1 2

7                  7                1              7         1                7

NOT: Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.

Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = pay x payda” ilişkisi vardır.

NOT:Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.

NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.

NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.

Matematik ile ilgili bu madde bir taslaktır. İçeriğini geliştirerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

Sayıların sınıflandırılması [ Gizle ]

[TESTLER - ÇALIŞMA SORULARI]

ONDALIK KESİRLER makeskin

ONDALIK KESİRLER

Paydası 10,100,1000 gibi 10 ve 10'un katları olan kesirler ondalık kesirlerdir. Ondalık kesirler virgül kullanılarak yazılır.

1/10 = 0,1 sıfır tam onda bir 8/10 = 0,8 sıfır tam onda sekiz 12/100 = 0,12 .............................. 24/100 = 0,24 ..............................

Ondalık kesirlerde virgülün solundaki rakamlar tam kısım virgülün sağındaki rakamlar ondalık kısımdır.

234     ,    567
                    tam kısım          ondalık kısım
               200 = 100x2         0,007  = 7x0,001
                 30 =  0x3             0,06    = 6x0,01
                   4 =  1x4              0,5      = 5x0,1
             +                                                         
                       234     ,    567

Ondalık kesirleri karşılaştırırken,önce tam kısma bakılır.Tam kısım eşit ise sırasıyla onda birler,yüzde birler,binde birler,on binde birler kısmına bakılır.

23,2 - 0,4 - 235,1 - 5,9 - 0,07 kesirlerini büyükten küçüğe doğru

235,1 > 23,2 > 5,9 > 0,4 > 0,07 şeklinde sıralarız.

2-4-7-5 rakamlarını kullanrak en büyük ve en küçük ondalık sayıları yazalım.

en büyük = 745,2 en küçük = 2,457

Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken virgüllerin alt alta gelmesine dikkat edelim.

745,2                               745,200
+     2,457                      -        2,457
   747,657                           742,743

- - Ondalık sayının sağına sıfır yazılması veya silinmesi sayının değerini değiştirmez.

0,3 = 0,30 =0,300 12,5 = 12,50 =12,500

- - Kesir sayılarının payını paydasına bölerek virgüllü olarak yazabiliriz.

6/8 = 6:8= 0,75 5/2 = 5:2= 2,5

- - Bir ondalık kesir 10 ile çarpılırken virgül bir basamak sağa,100 ile çarpılırken iki basamak sağa,1000 ile çarpılırken 3 basamak sağa kaydırılır.

1,2x10=12 19.27x10=192,7 4,25x100= 425 2,6x1000=2600

- - Bir ondalık kesri 10 ile bölerken virgül bir basamak sola,100 ilebölerken iki basamak sola,1000 ile bölerken 3 basamak solakaydırılır.

327,5:10=32,75 34,35:10 = 3,435 45,6:100=0,456 5,2:1000=0,0052

ÇALIŞMALAR - 1

1-" 3-4-0-7 " rakamlarını ve virgülü kullanarak istenen ondalık sayıları oluşturalım. Tam kısmı üç basamaklı en büyük ondalık sayı ................. Tam kısmı üç basamaklı en küçük ondalık sayı ................. Tam kısmı iki basamaklı en büyük ondalık sayı ................. Tam kısmı iki basamaklı en büyük ondalık sayı ................. Tam kısmı bir basamaklı en büyük ondalık sayı ................. Tam kısmı bir basamaklı en büyük ondalık sayı ................. 2-"7-5-0-1" rakamlarını ve virgülü kullanarak istenen ondalık sayıları oluşturalım. Tam kısmı 2 den küçük en büyük ondalık sayı ................. Tam kısmı 2 den küçük en küçük ondalık sayı ................. Tam kısmı 1 den küçük en büyük ondalık sayı ................. Tam kısmı 1 den küçük en küçük ondalık sayı ................. Tam kısmı 5 ten büyük en büyük ondalık sayı ................. Tam kısmı 5 ten büyük en küçük ondalık sayı .................

ÇALIŞMALAR - 2

0,45+3,56 =? 4,57+0,567=? 67,09+3,4 =? 345,3+0,45 =? 50,9+4,54 =? 0,04+1,001=? 40,50+2,50 =? 3,2+5,4 =? 4,8+3,9 =? 20,6-3,2 =? 6,8-6,7 =? 90,4-9,324 =? 1,56-0,457 =? 3,2-1,205 =? 50,1-0,32 =? 34,25-9,6 =? 6,79-3,87 =? 52,2-9,67 =? 45,5-5,9 =? 10,1-8,128 =?

ONDALIK KESİRLER TEST 1

1-26,435 Sayısındaki 3'ün basamak değeri kaçtır? a) 3 b) 0,3 c) 0,03 d) 0,003

2- 324,253 ondalık sayısının birler ve yüzde birler basamağındaki rakamların sayı değerleri toplamı kaçtır? a) 5 b) 4 c) 9 d) 7

3- 4/10 kesrinden 0,05 sayısı çıkarılırsa fark ne olur? a) 0,45 b) 0,35 c) 0,045 d) 0,035

4- 45,456 sayısını virgülden kurtarmak için hangi işlem uygulanır? a) 100 ile çarpılır b) 1000 ile çarpılır c) 100 e bölünür c) 1000' bölünür

5- İki sayının toplamı 42,573'tür.toplananlardan biri 0,19 arttırılır ,diğeri 0,09 azaltılırsa yeni toplam kaç olur? a) 42,673 b) 42,763 c) 43,673 d) 43,763

6- "0,706 - 2,04 - 0,08 - 2,016 " kesirlerinin en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark kaçtır? a) 1,310 b) 0,626 c) 1,96 d) 1,334

7-"323,68 - 42,63 =? işleminde farkı 282 ye tamamlayan sayı kaçtır? a) 286,05 b) 9,65 c) 281,05 d) 0,95

8- a=0,37 b= 0,07 c=0,024 ise hangi seçenekteki sıralama doğrudur? a) a<b<c b) c>b>a c) a>b>c d) a>c>b